ＳＰＩ試験最速解法（推奨！）

以下が高等学校の数学の教科書に載っているような公式である。

ｎ個の異なるものからｒ個取り出して並べる。このときの順列の総数を_ｎＰ_ｒとすると、

_ｎＰ_ｒ＝ｎ（ｎ - 1）（ｎ - 2）・・・（ｎ - ｒ + 1）

ｎとｒが等しいときは、

_ｎＰ_ｎ＝ｎ（ｎ - 1）（ｎ - 2）・・・1

ｎ個の異なるものからｒ個取り出して組を作る。このときの組合せの総数を_ｎＣ_ｒとすると、

_ｎＣ_ｒ＝｛ｎ（ｎ - 1）（ｎ - 2）・・・（ｎ - ｒ + 1)｝／｛ｒ（ｒ - 1）（ｒ - 2）・・・2×1｝

しかし、これらの公式は覚えにくい。そこで、当サイトでは、下のような公式を使う。

ｎ個の異なるものからｒ個取り出して並べる。このときの順列の総数を_ｎＰ_ｒとすると、

ｎ個の異なるものからｒ個取り出して組を作る。このときの組合せの総数を_ｎＣ_ｒとすると、

余事象

余事象とは、“ある事象に対して、それが起こらないという事象”である。次のことが成り立つ。

まずは、例題を通して、これらの考え方を丁寧に説明する。

【場合の数】はとにかく問題パターンが多様である。問題には様々な条件が付加されるので、“順列”や“組み合わせ”の公式をそのまま当てはめれば解けるという問題は意外と少ない。沢山の種類の問題を解き、解法パターンを覚える必要がある。

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解説

4枚のカードから1枚を取り出して、1桁の整数を作ることを考えると、この作り方は4通りある。これは直感的に理解してもらえると思う。

次に、4枚のカードから2枚を並べて、2桁の整数を作ることを考える。まず、10の位を考えると、4通りのカードが考えられる。次に、それぞれの10の位に対する1の位を考えると、10の位に1枚カードを使っているので、3通りのカードが考えられる。（下図参照）したがって、2桁の整数の作り方は、

4×3＝12（通り）

前置きが長くなってしまったが、4枚のカードから3枚を並べて、3桁の整数を作るときも同様に考え、

4×3×2＝24（通り）

この考え方が“順列”である。

ｎ個の異なるものからｒ個取り出して並べるとき、このときの順列の総数を_ｎＰ_ｒとすると、

この公式に問題を当てはめてみると、

となり、同様に24通りと答えが出る。

解答

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解説

まず、例題1と同じように考えてみよう。8人の中から3人を並べると考えるのである。このときは、例題1で解説したとおり、

8×7×6＝336（通り）

の並べ方があることになる。このとき、この336通りの並べ方というのは、例えば[Ａ氏→Ｂ氏→Ｃ氏]、[Ａ氏→Ｃ氏→Ｂ氏]、[Ｂ氏→Ａ氏→Ｃ氏]、[Ｂ氏→Ｃ氏→Ａ氏]、[Ｃ氏→Ａ氏→Ｂ氏]、[Ｃ氏→Ｂ氏→Ａ氏]というものを、それぞれ別の通りとしてカウントしていることになる。問題では、「新卒採用担当の面接官を3人選びたい。選び方は何通りあるか。」となっているので、この6つは、[Ａ氏、Ｂ氏、Ｃ氏]という1つの通りとしてカウントされるべきである。

他の例に対しても同じことが言えるため、選び方の総数は、

336÷6＝56（通り）

となる。「並べ方」を「選び方（組み合わせ方）」に変換するために、6で割ったのだが、上のように書き出さなくても、3人から3人を並べる場合の数を調べることで、

3×2×1＝6

で割ればよいと分かる。

この考え方が“組み合わせ”である。

ｎ個の異なるものからｒ個取り出して組を作る。このときの組合せの総数を_ｎＣ_ｒとすると、

この公式に問題を当てはめてみると、

解答

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解説

“少なくとも・・・”という記述がある場合は、余事象の考え方が有効である。

余事象とは、“ある事象に対して、それが起こらないという事象”であり、次のことが成り立つ。

このことを問題に適用してみよう。

[男子が少なくとも1人は含まれる選び方]の余事象は、[女子だけから選ぶ選び方]となる。

女子だけから選ぶ選び方は、

₃Ｃ₂＝（3×2）／（2×1）＝3（通り）

また、2人の代表を選ぶときの組み合わせの総数は、

₇Ｃ₂＝（7×6）／（2×1）＝21（通り）

よって、男子が少なくとも1人は含まれる選び方は、

21 - 3＝18（通り）

解答